已知:如图,△ABC中,AB=AC,点D在BC上,过D点的直线分别交AB于点E,交AC的延长线于点F,且BE=CF.求证:DE=DF.
题目
已知:如图,△ABC中,AB=AC,点D在BC上,过D点的直线分别交AB于点E,交AC的延长线于点F,且BE=CF.求证:DE=DF.
答案
证明:如图,过点E作EG∥AC交BC于G,
则∠ACB=∠BGE,∠F=∠DEG,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠BGE,
∴BE=GE,
又∵BE=CF,
∴GE=CF,
∵在△CDF和△GDE中,
,
∴△CDF≌△GDE(AAS),
∴DE=DF.
过点E作EG∥AC交BC于G,根据两直线平行,同位角相等可得∠ACB=∠BGE,内错角相等可得∠F=∠DEG,再根据等边对等角可得∠B=∠ACB,然后求出∠B=∠BGE,再根据等角对等边可得BE=GE,从而得到GE=CF,利用“角角边”证明△CDF和△GDE全等,根据全等三角形的可得DE=DF.
等腰三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
本题考查了等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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