设n阶矩阵A满足A＾2+A-3i=0 证明矩阵A-2I可逆,并求(A-2i )＾-1

题目

设n阶矩阵A满足A＾2+A-3i=0 证明矩阵A-2I可逆,并求(A-2i )＾-1

答案

注:i 应该写成大写的I,但看起来象1,也可以记为E.
因为 A^2+A-3E=0
所以 A(A-2E)+3(A-2E)+3E=0
即有 (A+3E)(A-2E) = -3E.
所以 A-2E 可逆,且 (A-2E)^-1 = (-1/3)(A+3E).