两圆相交时,公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系?

题目

两圆相交时,公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系?

答案

如果知道两个圆的方程则将这两个方程连立成一个方程组,这个方程组的解就是这两个圆的交点,如果两个圆相交,则这个方程组有解,换句话说,就是有（x1,y1)(x2,y2)两个点同时满足这两个方程,所以将这两个点带回原方程,在将两个方程相减,得到一个一次方程 ,这两个点同时也满足这个一次方程,所以这条直线过这两个交点所以就是他们的公共弦方程.答案补充 设圆C1和圆C2有两个交点A,B,且圆C1方程：+y?+dx+ey+f=0 圆C2方程：+y?+Dx+Ey+F=0 两圆方程相减,得(d-D)x+(e-E)y+f-F=0 显然A,B两点的坐标就是方程组x?+y?+dx+ey+f=0,+y?+Dx+Ey+F=0的两组解(求交点不就是联立方程求解吗?),故也是方程(d-D)x+(e-E)y+f-F=0的两组解,两点确定一条直线,既然A,B两点在直线(d-D)x+(e-E)y+f-F=0上,自然(d-D)x+(e-E)y+f-F=0表示过两圆交点直线的方程.