设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵．已知AB=2A+B，B=202040202，则（A-E）-1=_．

题目

设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵．已知AB=2A+B，B=

2 0 2 0 4 0 2 0 2

，则（A-E）^-1=______．

答案

由：AB=2A+B，
知：AB-B=2A-2E+2E，
即：（A-E）B-2（A-E）=2E，
也就是：（A-E）（B-2E）=2E，
∴(A−E)•

1

2

(B−2E)＝E，
于是：
（A-E）^-1═

1

2

(B−2E)=

0 0 1 0 1 0 1 0 0

．

先化简AB=2A+B，由于矩阵A是未知的，所以要分解成（A-E）C=D或者是C（A-E）=D，其中C和D不含有A，从而就能确定（A-E）^-1．

本题考点：逆矩阵的定义和唯一性；可逆矩阵的性质．

考点点评：本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题，应先分解出因式A-E，写成逆矩阵的定义形式，从而确定（A-E） 的逆矩阵．