过定点A（3，4）任作互相垂直的两条线l1与l2，且l1与x轴交于M点，l2与y轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程．

题目

过定点A（3，4）任作互相垂直的两条线l₁与l₂，且l₁与x轴交于M点，l₂与y轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程．

答案

（本小题满分12分）
当l₁不平行于坐标轴时，设l₁：y-4=k（x-3）…①
则k≠0，∴l₂：y-4=-

1

k

（x-3）…②
在①中令y=0得，M（3-

4

k

，0），在②中令x=0得，N（0，4+

3

k

）
设MN的中点P（x，y），则

x＝ 3 2 − 2 k y＝2+ 3 2k

消去k得，6x+8y-25=0，
当l₁平行于坐标轴时，MN的中点为（

3

2

，2）也满足此方程．
∴P点的轨迹方程为6x+8y-25=0．

通过当l₁不平行于坐标轴时，设l₁：y-4=k（x-3），l₂：y-4=-

1

k

（x-3）求出M（3-

4

k

，0），求出N（0，4+

3

k

）
设MN的中点P（x，y），消去k得轨迹方程，当l₁平行于坐标轴时，判断是否满足方程即可．

本题考点：与直线有关的动点轨迹方程．

考点点评：本题考查轨迹方程的求法，注意直线的斜率是否存在是解题的易错点．