设向量组α1,α2,α3,α4线性无关,而向量组β1=α1,β2=α1+α2,β3=α1+α2+α3,β4=α1+α2+α3+α4,证明向量组β1,β2,β3,β4也线性无关

题目

设向量组α1,α2,α3,α4线性无关,而向量组β1=α1,β2=α1+α2,β3=α1+α2+α3,β4=α1+α2+α3+α4,证明向量组β1,β2,β3,β4也线性无关

答案

反证法.设β1,β2,β3,β4线性相关,则存在不全为0的x1,x2,x3,x4,使得：x1*β1+x2*β2+x3*β3+x4*β4=0而由于：β1=α1,β2=α1+α2,β3=α1+α2+α3,β4=α1+α2+α3+α4因此：4*x1*α1+3*x2*α2+2*x3*α3+x4*α4=0...