求方程a^2+b^2+c^2=a^2*b^2的所有整数解,并证明

题目

求方程a^2+b^2+c^2=a^2*b^2的所有整数解,并证明

答案

若a=0 or b=0,则有a=b=c=0
若c=0,a^2=b^2/(b^2-1)=1+1/(b^2-1),无整数解
下设a,b,c都不为0
c^2+1=(a^2-1)(b^2-1)
若a,b有一为奇数,则右边可整除4,左边c只能为奇数,但此时左边除4余2,不符
因此a,b都为偶数.此时C也需为偶数
a=2a1,b=2b1,c=2c1
a1^2+b1^2+c1^2=4(a1b1)^2
为使左边能被4整除,只能是a1,b1,c1都为偶数
a1=2a2,b1=2b2,c1=2c2
a2^2+b2^2+c2^2=4^2(a2b2)^2
如此反复,a=b=c=2^p
,3*2^2p=2^4p
2^2p=3,无解
因此只有一组解;a=b=c=0