已知sin(α+β)=1/2,sin(α-β)=1/3 (1)求证：sinα*cosβ=5cosα*sinβ

题目

已知sin(α+β)=1/2,sin(α-β)=1/3 (1)求证：sinα*cosβ=5cosα*sinβ
(2)求证：tanα=5tanα

答案

证明：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=1/2 （1）
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=1/3 （2）
（2）*3-(1)*2得：
sinαcosβ-5cosαsinβ=1/3 *3-1/2*2=0
∴sinαcosβ=5cosαsinβ
tanα=5tanα 有错吧
应该是
tanα=5tanβ
cos(α+β)=±√(1-sin²(α+β))=±√3/2
cos(α-β)=±√(1-(1/3)²)=±2√2/3
cos2α=cos((α+β) +(α-β))=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=±√6/3-1/6
cosα=±√(±√6/3-1/6+1)≠0
同理可证cosβ≠0
sinαcosβ=5cosαsinβ
两边同除以 cosαcosβ（需要证明不为零才能除）得
tanα=5tanβ