运用梯形的中位线来解题@!

题目

运用梯形的中位线来解题@!
1.在梯形ABCD中,AD‖BC,E,F分别昰AB,CD的中点,S△ABD:S△BCD=3:7,求EF将梯形ABCD分成的两部分的面积之比.
2.在梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC,AC⊥BD,DH⊥BC,垂足为H,EH为梯形ABCD的中位线,求证:EF=DH.

答案

1.可知EF是体形的中位线.设EF与BD交于点G.则EG和GF分别为△ABD和△BDC的中位线,所以有△EBG和△DGF的高分别是△ABD和△BDC的高的1/2,所以S△EBG和S△DGF分别为1/4S△ABD和1/4S△BDC,那么S梯形AEGD和S梯形BCFG分别就是3/4S△ABD和3/4S△BDC
假设该梯形的面积是10份,那么S△ABD=3份,S△BDC=7份.那么被EF分成的上半部分的面积=S(梯形AEGD+△DGF)=3/4S△ABD+1/4S△BDC=3/4*3+1/4*7=9/4+7/4=4; 同理下半部分的面积=1/4*3+3/4*7=3/4+21/4=6.所以上下两部分面积比=4:6=2:3
2.应该是"EF为梯形ABCD的中位线"吧!
直接将DH平移到中间(即与EF垂直平分,且一定过AC,BD的交点(因为梯形的腰相等)),平移过来记作D'H'.假设上底长度为a,下底长b.
由AC⊥BD(设其交点为G),则可知得到的两个直角三角形是等腰直角三角行且D'H'是其垂直平分线(根据直角三角形的中线等于斜边的一半或者根据△AD'G也是等边直角三角行),所以计算得到D'G=1/2a,GH'=1/2b.
由于EF是梯形的中位线,所以EF=1/2(a+b).
最终得到EF=D'H'=DH=1/2(a+b),即得证EF=DH.