已知数列{an}的首项a1=3,通项an与前n项和Sn之间满足2an=SnSn-1(n≥2).(1)求证{1/Sn}是等差数列,并求公差;(2)求数列{an}的通项公式.
题目
已知数列{a
n}的首项a
1=3,通项a
n与前n项和S
n之间满足2a
n=S
nS
n-1(n≥2).
(1)求证
{}是等差数列,并求公差;
(2)求数列{a
n}的通项公式.
答案
(1)∵2a
n=S
nS
n-1(n≥2)∴2(S
n-S
n-1)=S
nS
n-1两边同时除以S
nS
n-1,得2
(-)=1∴
-=-∴
{}是等差数列,公差
d=-(2)∵
==∴
=+(n-1)×(-)=-n+=
∴
Sn=当n≥2时,
an=SnSn-1=××=∴
an=(1)由题设知2(S
n-S
n-1)=S
nS
n-1,两边同时除以S
nS
n-1,得2(
(−)=1,由此知
{}是等差数列,公差
d=−.
(2)由题设知
=+(n−1)×(−)=n+,故
Sn=.由此能导出数列{a
n}的通项公式.
数列递推式;等差关系的确定.
本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用.
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