直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，D为AB的中点． （1）求证：AC1∥平面CDB1； （2）求三棱锥C-B1BD的体积．

题目

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，D为AB的中点．

（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求三棱锥C-B₁BD的体积．

答案

（1）证明：设BC₁与CB₁交于点O，则O为BC₁的中点．
在△ABC₁中，连接OD，D，O分别为AB，BC₁的中点，
故OD为△ABC₁的中位线，∴OD∥AC₁，
又AC₁⊄平面CDB₁，OD⊂平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）V=

1

3

S△BCD•BB1
=

1

3

×

1

2

S△ABCBB1=

1

6

×

1

2

AC•BC•BB1=

1

12

×3×4×4＝4