已知函数f(x)=cosx(sinx-cosx)+1
题目
已知函数f(x)=cosx(sinx-cosx)+1
(1)求f(x)最小正周期(2)求f(x)的值域(3)f(x)的单调递减区间
答案
1、求最小正周期:
f(x)=cosx(sinx-cosx)+1
f(x)=cosx[sinx+sin(3π/2+x)]+1
f(x)=2cosx[sin[(x+3π/2+x)/2]cos[(x-3π/2-x)/2]+1
f(x)=2cosxsin(x+3π/4)cos(-3π/4)+1
f(x)=2cosxsin(x+3π/4)[-(√2)/2]+1
f(x)=1-(√2)cosxsin(x+3π/4)
f(x)=1-(√2)(1/2)[sin(x+3π/4+x)+sin(x+3π/4-x)]
f(x)=1-[(√2)/2][sin(2x+3π/4)+sin(3π/4)]
f(x)=1-[(√2)/2][sin(2x+3π/4)+(√2)/2]
f(x)=1-[(√2)/2]sin(2x+3π/4)-1/2
f(x)=1/2-[(√2)/2]sin(2x+3π/4)
因为:自变量x的系数不是2,
所以:最小正周期是2π/2=π
2、求值域:
因为:-1≤sin(2x+3π/4)≤1
所以:-(√2)/2≤-[(√2)/2]sin(2x+3π/4)≤(√2)/2
因此:(1-√2)/2≤1/2-[(√2)/2]sin(2x+3π/4))≤(1+√2)/2
即:f(x)的值域是::(1-√2)/2≤f(x)≤(1+√2)/2
3、求单调递减区间:
f(x)=1/2-[(√2)/2]sin(2x+3π/4)
f'(x)=(√2)cos(2x+3π/4)
令:f'(x)<0,即:(√2)cos(2x+3π/4)<0
cos(2x+3π/4)<0
2kπ+π/2<2x+3π/4<2kπ+3π/2,其中:k=0、±1、±2、……,下同
2kπ-π/4<2x<2kπ+3π/4
kπ-π/8<x<kπ+3π/8
即:函数f(x)的单调减区间是:x∈(kπ-π/8,kπ+3π/8),其中:k=0、±1、±2、…….
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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