关于椭圆离心率的问题

题目

关于椭圆离心率的问题
椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1其中a＞b,F为右焦点,A为右准线与X轴的交点,椭圆上存在一点P,使AP的垂直平分线过F,求离心率范围.

答案

设右准线为l,则l：x=a²/c
∴A(a²/c,0),F(c,0)
设P(x1,y1),则P到l的距离（我用|Pl|表示^_^）|Pl|=a²/c-x1
由椭圆第二定义可知,|PF|=|Pl|e=a-cx1/a
又直线PA的中垂线过F,∴|PF|=|FA|
∴a-cx1/a=a²/c-c
即x1=(a²c+ac²-a³)/c²=a(ac+c²-a²)/c²∈[-a,a]
即(ac+c²-a²)/c²=a/c-a²/c²+1=1/e-1/e²+1∈[-1,1]
解不等式组,即可求得e的范围,e∈[1/2,1]