已知定义在R上的函数f（x）和数列{an}满足下列条件：an=f（an-1）（n=2，3，4，…），f(an)−f(an−1)＝an−an−12(n＝2，3，4，…），若a1=30，a2=60，令bn

题目

已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}满足下列条件：a_n=f（a_n-1）（n=2，3，4，…），f(a

答案

（I）∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=a_n+2-a_n+1，
∴

bn+1

bn

＝

an+2−an+1

an+1−an

＝

f(an+1)−f(an)

an+1−an

＝

an+1−an 2

an+1−an

＝

1

2

∴数列{b_n}是等比数列，
∵b₁=a₂-a₁=30∴bn＝15•(

1

2

)n−2．
（II）c_n=log₂15+2-n，
∵c_n+1-c_n=-1，
∴数列{c_n}是递减的等差数列，
令c_n＞0得n＜2+log₂15，∵log₂15∈（3，4），
∴2+log₂15∈（5，6）
∴数列{c_n}的前5项都是正的，第6项开始全部是负的，
∴n=5时，S_n取最大值．