定积分 上限是1,下限是-1

题目

定积分 上限是1,下限是-1
(x^2sinx+2 )dx=()
A.1 B.2 C.3 D.4
不只是要选项,最重要的是要有详细的解题过程,

答案

答案 :D
∫(-1⟼1)(x²sinx + 2)dx
=∫(-1⟼1)x²d(-cosx) + ∫(-1⟼1)2dx
= -x²cosx(-1⟼1) + ∫cosxdx² + 2x(-1⟼1)
= -[cos1 - cos(-1)] + 2∫xcosxdx + 2[1 - (-1]
= -0 + 2∫xdsinx + 4
= 2xsinx(-1⟼1) - 2∫sinxdx + 4
= 2[sin1 - (-1)sin(-1)] + 2cosx(-1⟼1) + 4
= 2[sin1 - sin1] + 2[cos1 - cos(-1)] + 4
= 0 + 0 + 4
= 4
从上面的详细积分年过程,我们验证了,奇函数在对于原点对称的区间上积分为0.
也就是只要 ∫2dx （-1⟼1） = 2x(-1⟼1) = 4 就 OK 了.