如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是(  ) A.4.75 B.4.8 C.5 D.42

如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是(  ) A.4.75 B.4.8 C.5 D.42

题目
如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是(  )
A. 4.75
B. 4.8
C. 5
D. 4
2
答案
如图,设QP的中点为F,圆F与AB的切点为D,连接FD、CF、CD,则FD⊥AB.
∵AB=10,AC=8,BC=6,
∴∠ACB=90°,FC+FD=PQ,
∴FC+FD>CD,
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时,PQ=CD有最小值,
∴CD=BC•AC÷AB=4.8.
故选B.
设QP的中点为F,圆F与AB的切点为D,连接FD,连接CF,CD,则有FD⊥AB;由勾股定理的逆定理知,△ABC是直角三角形FC+FD=PQ,由三角形的三边关系知,FC+FD>CD;只有当点F在CD上时,FC+FD=PQ有最小值为CD的长,即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时,PQ=CD有最小值,由直角三角形的面积公式知,此时CD=BC•AC÷AB=4.8.

切线的性质.

本题利用了切线的性质,勾股定理的逆定理,三角形的三边关系,直角三角形的面积公式求解.

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