已知OPQ是半径为1,圆心角为π/3的扇形,c是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内结矩形,记角COP=a,

题目

已知OPQ是半径为1,圆心角为π/3的扇形,c是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内结矩形,记角COP=a,
求当a取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大值.

答案

以O为原点,OM为x轴,过O点的OM的垂线为y轴建立直角坐标系,有
A（cosα,sinα）,B（cosα,sinα）,
OP直线为y=√3 x,OQ直线为y= -√3 x,AD直线为y=sinα,BC直线为y= -sinα,
故可得D（sinα／√3,sinα）,C（sinα／√3,sinα）,
1,故AB=2sinα,BC=cosα-sinα／√3
2,故矩形ABCD面积为
S=2sinα（cosα-sinα／√3）
=2sinαcosα-2sin²α／√3
=sin2α-2[(1-cos2α)/2]／√3
=sin2α+cos2α／√3 -1／√3,（0＜α＜π／3）
3,令y=sin2α,x=cos2α,（0＜α＜π／3）
有x²+y²=1,
可见x、y是圆在0°-120°上的点的集合（圆弧）,
则求S变为S=y+x／√3 -1／√3,也即y= -x／√3+（1／√3+S）,
这就变成了求斜率为-1／√3的直线与圆弧相交得截距最大值.
解得当x=√3／2,y=1／2时,Smax=1-1／√3.
可得此时α=30°.