已知椭圆E的焦点在X轴上,焦距为2√3,离心率为√3/2

题目

已知椭圆E的焦点在X轴上,焦距为2√3,离心率为√3/2
已知点A（0,1）和直线l;y=x+m,线段AB是椭圆E的一条弦且直线垂直平分弦AB,求实数m的值是多少?

答案

因2c=2√3,e=c/a=√3/2,b^2=a^2-c^2
易知a=2,b=1,即椭圆E：x^2/4+y^2=1
显然A为短轴的上顶点
易知直线L的斜率k=1
因AB垂直于直线L
则kab=-1
于是由点斜式得AB所在直线：y=-x+1
联立椭圆方程及AB所在直线方程
消去y解得x=0或x=8/5
于是得到点B坐标为(8/5,-3/5)
由中点坐标公式得到AB中点坐标为(4/5,1/5)
因直线L垂直平分AB
则AB中点落在直线L上
即有1/5=4/5+m
解得m=-3/5