已知f(x)=2/3x^3－2x^2+cx+4,若f(x)在x=1+2^1/2处有极值,求c的值和f(x)的单调区间

题目

已知f(x)=2/3x^3－2x^2+cx+4,若f(x)在x=1+2^1/2处有极值,求c的值和f(x)的单调区间
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答案

首先 对 f（X）求导 f‘（x}=2X^2-4x+c
然后将f(x)=1+2^1/2 带入上式 解的 c=2
将c=2带入f(x)=2/3x^3－2x^2+cx+4得 f(x)=2/3x^3－2x^2+2x+4
另f'(x)=0 可解出 x= 1-2^1/2或1+2^1/2
当x<1-2^1/2时 f'(x)>0 故单调递增 当1-2^1/2<=x<=1+2^1/2时f'(x)<0 故单调递减 当x>1+2^1/2 时 f'(x)>0故单调递增
则f(x)的单调区间 （-∞,1-2^1/2）∪（1+2^1/2,+∞） 单调递减区间[1-2^1/2 ,1+2^1/2]