设非零常数函数f(x)与g(x)满足以下两个条件

题目

设非零常数函数f(x)与g(x)满足以下两个条件
(1)对一切x,y∈R,均有g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y)
(2)f(0)=0
求证：f^n(x)+g^n(x)

答案

让y=0有
g（x）=g（x）g（0）+0
有g（0）=1
让y=x有
g（x-x）=g^2（x）+f^2(x)=g(0)=1
有g（x）绝对值=g^n(x)
有
f^n(x)+g^n(x)