以△ABC的边AB、AC为斜边向△ABC外作直角三角形ABD和ACE,∠ADB=∠AEC=90°,且使∠ABD=∠ACE,M是BC中点

题目

以△ABC的边AB、AC为斜边向△ABC外作直角三角形ABD和ACE,∠ADB=∠AEC=90°,且使∠ABD=∠ACE,M是BC中点
求证：DM=EM

答案

取AB的中点F、AC的中点G,通过SAS证明△DMF≌△MEG,于是DM=EM
1) F是直角△ABD的斜边的中点 => DF=(1/2)AB
M是BC的中点、G是AC的中点 => MG=(1/2)AB
故DF=MG
2) 同1)有FM=EG
3) FM//AC => ∠BFM=∠BAC
GM//AB => ∠CGM=∠BAC
故∠BFM=∠CGM
又∠ABD=∠ACE => ∠BFD=180°-2∠ABD=180°-2∠ACE=∠CGE
从而∠DFM=∠MGE