设a,b,c是三角形ABC的边长,对任意实数x,f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2有( ) A.f(x)=0 B.f(x)>0 C.f(x)≥0 D.f(x)<0
题目
设a,b,c是三角形ABC的边长,对任意实数x,f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2有( )
A. f(x)=0
B. f(x)>0
C. f(x)≥0
D. f(x)<0
答案
在△ABC中,根据余弦定理a
2=b
2+c
2-2bccosA,
∴b
2+c
2-a
2=2bccosA,
因此函数可化为:f(x)=b
2x
2+(2bccosA)x+c
2,
∵
| b2>0 | △=4b2c2cos2A−4b2c2=4b2c2(cos2A−1)<0 |
| |
,
∴函数y=f(x)的图象是开口向上的抛物线,且与x轴没有公共点.
由此可得:对任意实数x,f(x)>0恒成立.
故选:B
根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子,将函数化简为f(x)=b2x2+(2bccosA)x+c2,再根据二次函数的图象与性质加以计算,可得函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴没有公共点,可得本题的答案.
余弦定理;二次函数的性质.
本题给出与△ABC的三边a、b、c有关的二次函数,研究函数值的取值范围.着重考查了二次函数的图象与性质、余弦定理及其应用等知识,属于中档题.
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