在平面上,设ha.hb.hc是三角形ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P 到三边相应的距离分别为Pa.Pb.Pc

题目

在平面上,设ha.hb.hc是三角形ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P 到三边相应的距离分别为Pa.Pb.Pc
我们可以得到结论Pa/ha+Pb/hb+Pc/hc=1,试通过类比,写出在空间中的类比结论.并证明.结论知道.但怎么证明?

答案

设h_a,h_b,h_c,h_d三棱锥A-BCD四个面上的高．
P为三棱锥A-BCD内任一点,
P到相应四个面的距离分别为p_a,p_b,p_c,p_d
我们可以得到结论：
paha
+
pbhb
+
pchc
+
pdhd
＝1
．
V_P-ABC+V_P-BCD+V_P-CDA+V_P-DAB=V,V=V_D-ABC=V_A-BCD=V_B-CDA=V_C-DAB,
即
VP−ABCVD−ABC
+
VP−BCDVA−BCD
+
VP−CDAVB−CDA
+
VP−DABVC−DAB
＝1
,

13SABC•pd13SABC•hd
+
13SBCD•pa13SBCD•ha
+
13SCDA•pb13SCDA•hb
+
13SDAB•pc13SDABhc
＝1
,
即
paha
+
pbhb
+
pchc
+
pdhd
＝1
．
故答案为：
paha
+
pbhb
+
pchc
+
pdhd
＝1
．