已知关于x的一元二次方程（6-k）（9-k）x2-（117-15k）x+54=0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．

题目

已知关于x的一元二次方程（6-k）（9-k）x²-（117-15k）x+54=0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．

答案

原方程可化为：[（6-k）x-9][（9-k）x-6]=0．
因为此方程是关于x的一元二次方程，
所以，k≠6，k≠9，
于是有：x₁=

9

6−k

①，x₂=

6

9−k

②．
由①得k=

6x1−9

x1

，由②得k=

9x2−6

x2

，
∴

6x1−9

x1

=

9x2−6

x2

，
整理得x₁x₂-2x₁+3x₂=0，
有（x₁+3）（x₂-2）=-6．
∵x₁、x₂均为整数，
∴

x1+3＝−6，−3，−2，−1，1，2，3，6 x2−2＝1，2，3，6，−6，−3，−2，−1

．
故x₁=-9，-6，-5，-4，-2，-1，0，3．
又k=

6x1−9

x1

=6-

9

x1

，
将x₁=-9，-6，-5，-4，-2，-1，3分别代入，得
k=7，

15

2

，

39

5

，

33

4

，

21

2

，15，3．

首先对方程（6-k）（9-k）x²-（117-15k）x+54=0因式分解可得[（6-k）x-9][（9-k）x-6]=0，于是有x₁=

9

6−k

，x₂=

6

9−k

．消去k后，有（x₁+3）（x₂-2）=-6，列出所有x₁、x₂对应的整数，即可求得对应的k的值．

本题考点：解一元二次方程-因式分解法；因式分解的应用．

考点点评：正确利用因式分解法求得方程的解，得到方程的两个解之间的关系（x₁+3）（x₂-2）=-6，根据x₁、x₂均为整数，确定x的取值是解决本题的关键．