已知直角△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC中点. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.

已知直角△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC中点. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.

题目
已知直角△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC中点.

(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
答案
证明:(1)如图,取AB中点E,连结SE,DE,
在Rt△ABC中,D,E分别为AC、AB的中点,
∴DE∥BC,且DE⊥AB,
∵SA=SB,∴△SAB为等腰三角形,
∴SE⊥AB,又SE∩DE=E,
∴AB⊥平面SDE,∵SD⊂面SDE,∴AB⊥SD,
在△SAC中,∵SA=SC,D为AC中点,
∴SD⊥AC,
∵SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,
∴SD⊥平面ABC.
(2)证法一:∵AB=BC,D为斜边AC中点,∴BD⊥AC,
由(1)可知,SD⊥面ABC,
而BD⊂面ABC,∴SD⊥BD,
∵SD⊥BD、BD⊥AC,SD∩AC=D,
∴BD⊥面SAC.
(2)证法二:∵AB=BC,D为斜边AC中点,∴BD⊥AC.
由(1)知SD⊥平面ABC,又SD⊂平面SAC,
∴平面ABC⊥平面SAC,
又平面ABC∩平面SAC=AC.
∴BD⊥平面SAC.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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