已知直角△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，D为斜边AC中点． （1）求证：SD⊥平面ABC； （2）若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC．

题目

已知直角△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，D为斜边AC中点．

（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC．

答案

证明：（1）如图，取AB中点E，连结SE，DE，
在Rt△ABC中，D，E分别为AC、AB的中点，
∴DE∥BC，且DE⊥AB，
∵SA=SB，∴△SAB为等腰三角形，
∴SE⊥AB，又SE∩DE=E，
∴AB⊥平面SDE，∵SD⊂面SDE，∴AB⊥SD，
在△SAC中，∵SA=SC，D为AC中点，
∴SD⊥AC，
∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB=A，
∴SD⊥平面ABC．
（2）证法一：∵AB=BC，D为斜边AC中点，∴BD⊥AC，
由（1）可知，SD⊥面ABC，
而BD⊂面ABC，∴SD⊥BD，
∵SD⊥BD、BD⊥AC，SD∩AC=D，
∴BD⊥面SAC．
（2）证法二：∵AB=BC，D为斜边AC中点，∴BD⊥AC．
由（1）知SD⊥平面ABC，又SD⊂平面SAC，
∴平面ABC⊥平面SAC，
又平面ABC∩平面SAC=AC．
∴BD⊥平面SAC．