已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0.b>0)的离心率为根号3,虚轴长为2根号2 (1)求双曲线C的方程

题目

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0.b>0)的离心率为根号3,虚轴长为2根号2 (1)求双曲线C的方程
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B,且线段AB中点在圆x^2+y^2=5上,求m的值

答案

1、
b=√2,c/a=√3
∴3 = c²/a² = (a² + b²)/a² = 1 + b²/a² = 1 + 2/a²
∴a²=1,c² = 3
∴双曲线C的方程为：x² - y²/2 = 1
2、
y = x+m
设A(x1,y1)、B(x2,y2)、AB中点D(p,q)
则p = (x1+x2)/2,q = (y1+y2)/2
联立直线、双曲线消去y,得：
x² - 2mx - (m²+2) = 0
x1+x2 = 2m
∴y1+y2 = (x1+m) + (x2+m) = (x1+x2) + 2m = 4m
∴p=m,q=2m
∴D(m,2m),代入圆中,得：
m² + 4m² = 5
∴m = ±1