过定点A(3,4)任作互相垂直的两条线l1与l2,且l1与x轴交于M点,l2与y轴交于N点,求线段MN中点P的轨迹方程.

过定点A(3,4)任作互相垂直的两条线l1与l2,且l1与x轴交于M点,l2与y轴交于N点,求线段MN中点P的轨迹方程.

题目
过定点A(3,4)任作互相垂直的两条线l1与l2,且l1与x轴交于M点,l2与y轴交于N点,求线段MN中点P的轨迹方程.
答案
(本小题满分12分)
当l1不平行于坐标轴时,设l1:y-4=k(x-3)…①
则k≠0,∴l2:y-4=-
1
k
(x-3)…②
在①中令y=0得,M(3-
4
k
,0),在②中令x=0得,N(0,4+
3
k

设MN的中点P(x,y),则
x=
3
2
2
k
y=2+
3
2k
消去k得,6x+8y-25=0,
当l1平行于坐标轴时,MN的中点为(
3
2
,2)也满足此方程.
∴P点的轨迹方程为6x+8y-25=0.
通过当l1不平行于坐标轴时,设l1:y-4=k(x-3),l2:y-4=-
1
k
(x-3)求出M(3-
4
k
,0),求出N(0,4+
3
k

设MN的中点P(x,y),消去k得轨迹方程,当l1平行于坐标轴时,判断是否满足方程即可.

与直线有关的动点轨迹方程.

本题考查轨迹方程的求法,注意直线的斜率是否存在是解题的易错点.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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