arcsin(ex)除以ex的不定积分怎么算?

题目

arcsin(ex)除以ex的不定积分怎么算?

答案

∫arcsin(e^x)/e^x dx
令u=e^x,du=e^x dx
原式=∫arcsinu/u^2 du
=∫arcsinu d(-1/u)
=(-1/u)arcsinu-∫(-1/u) d(arcsinu)
=-(arcsinu)/u+∫1/[u√(1-u^2)] du
令z=√(1-u^2),du=-u/√(1-u^2) du
原式=-(arcsinu)/u+∫1/(z^2-1) dz...(*)
=-(arcsinu)/u+1/2*ln[(z-1)/(z+1)]+C...(*)
=-(arcsinu)/u+1/2*ln【[√(1-u^2)-1]/[√(1-u^2)+1]】+C
=-(e^-x)arcsin(e^x)+(1/2)ln【[√(1-e^2x)-1]/[√(1-e^2x)+1]】+C
在(*)点,形如∫1/(x^2-a^x) dx的积分
=1/(2a)*ln【(x-a)/(x+a)】+C,这是一个公式