已知椭圆C的方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）,设斜率为k的直线l,交椭圆C与A,B两点,AB的中点为M,证明,当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上

题目

已知椭圆C的方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）,设斜率为k的直线l,交椭圆C与A,B两点,AB的中点为M,证明,当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上

答案

证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y).
∵ (x1/a)^2+(y1/b)^2=1.①,(x2/a)^2+(y2/b)^2=1.②,
①-②得(x1+x2)(x1-x2)/a^2+(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0,
∵ x1+x2=2x,y1+y2=2y,k=(y1-y2)/(x1-x2),
∴ (x/a^2)+ky/(b^2)=0.
∴ 动点M在一条过原点的定直线(x/a^2)+ky/(b^2)=0上.
此方法称为"差点法"