已知a,b互质,a,c互质,证明a与bc乘积互质.如何证明?

题目

已知a,b互质,a,c互质,证明a与bc乘积互质.如何证明?

答案

互质的另一种定义是这样的：
(a,b)=1等价于存在整数u、v使得ua+vb=1.
这也是一个定理.
这样的话
(a,b)=1推出存在整数u、v使得ua+vb=1.
(a,c)=1推出存在整数s、t使得sa+tc=1.
所以bc=(1-ua)/v * (1-sa)/t.
vtbc=(1-ua)(1-sa)=1-ua-sa+usa^2.
a*(u+s-usa)+bc*vt=1.
所以(a,bc)=1.