证明：如果R是对称的,则R的传递闭包也是对称的

题目

证明：如果R是对称的,则R的传递闭包也是对称的

答案

设C是R的传递闭包,任取(x,y)∈C.
若(x,y)∈R,则(y,x)∈R,从而(y,x)∈C；
若(x,y)∈R,则存在t,使得(x,t)∈R并且(t,y)∈R,根据R的对称性,有(t,x)∈R并且(y,t)∈R,即(y,x)∈C
综上,对任意的(x,y)∈C皆有(y,x)∈C,所以C是对称的.