p>0,q>0,且q3+p3=2,用反证法证明:p+q

题目

p>0,q>0,且q3+p3=2,用反证法证明:p+q<=2

答案

假设存在p+q>2
q3+p3=(q+p)(q2-qp+p2)
=(q+p)(q2+2qp+p2-3qp)
=(q+p)[(q+p)2-3qp]
>=(q+p){(q+p)2-3[(q+p)2]/4}
=(q+p)[(q+p)2]/4=(q+p)>2基本不等式
与已知矛盾
所以假设不成立
所以p+q<=2