确定常数a,b,c的值,使lim(x-0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c

题目

确定常数a,b,c的值,使lim(x-0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c
后面那个积分的下界是x，上界是b

答案

首先x->0时,ax-sinx趋于0,
因此需要
定积分 [下界是x,上界是b] ∫ ln﹙1+t³﹚/t dt 也等于0,
所以x->0时,b也等于0,
再使用洛必达法则对分子分母同时求导,
原极限= lim(x-0) (a-cosx) / [-ln(1+x³)/x] （注意x是下界,求导会有这个负号）
若要极限存在,显然分子分母都要为0,
即a=cos0=1,
而在x趋于0时,ln(1+x³)等价于x³,
即[-ln(1+x³)/x] 等价于 -x³/x= -x²,
所以
原极限= lim(x-0) (a-cosx) / [-ln(1+x³)/x]
=lim(x-0) (1-cosx)/( -x²)
在x趋于0时,1-cosx趋于0.5x²
故原极限= lim(x-0) 0.5x²/( -x²)
= -0.5
即a=1,b=0,c= -0.5