f(x)dx在[a,+无穷)上广义积分收敛,证明limf(x)=0 (x趋于无穷）

题目

f(x)dx在[a,+无穷)上广义积分收敛,证明limf(x)=0 (x趋于无穷）

答案

反证,假设 lim f(x)不等于0,不妨设 lim f(x)=b ,b>0
由极限的保号性和有界性可知,存在 X,存在c,0c
f(x)dx= f(x)dx [x从a到X] + f(x)dx [x从X到正无穷大]
前一部分为定积分,必然收敛,后一部分由积分的几何意义可知：
f(x)dx [x从X到正无穷大] > c乘以正无穷大= 正无穷,是发散的,所以原积分由这两部分相加,必发散到无穷大.由此可知 limf(x)=0
假设c