证明圆内接任意四边形对边乘积之和等于对角线的乘积

题目

证明圆内接任意四边形对边乘积之和等于对角线的乘积

答案

如图,四边形ABCD内接于圆O,那么AB*CD+AD*BC=AC*BD
证明：
作∠BAE=∠CAD,交BD于点E
∵∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD
∴△ABE∽△ACD
∴AB/AC=BE/CD
∴AB*CD=AC*BE
∵∠BAC=∠EAD,∠ACB=∠ADE
∴△ABC∽△AED
∴BC/DE=AC/AD
∴BC*AD=AC*DE
∴AB*CD+BC*AD=AC*BE+AC*DE=AC（BE+DE）=AC*BD