柯西积分不等式怎么证

题目

柯西积分不等式怎么证

答案

设f(x),g(x)在区间[a,b]可积,a≤b
∵对任意t∈R,有(tf(x)-g(x))²≥0
=>∫[a,b](tf(x)-g(x))²dx≥0
=>t²∫[a,b]f²(x)dx-2t∫[a,b]f(x)g(x)dx+∫[a,b]g²(x)dx≥0
记A=∫[a,b]f²(x)dx,B=2∫[a,b]f(x)g(x)dx,C=∫[a,b]g²(x)dx
则上式变为At²-Bt+C≥0,对任意t∈R成立
∴该二次函数判别式△=B²-4AC≤0
即(∫[a,b]f(x)g(x)dx)²≤(∫[a,b]f²(x)dx)(∫[a,b]g²(x)dx)
注：这里若a>b,该积分不等式也成立,只需把a,b交换证明即可