点A是△BCD所在平面外一点,AD=BC,E、F分别是AB、CD的中点

题目

点A是△BCD所在平面外一点,AD=BC,E、F分别是AB、CD的中点
且EF=2分之根号2倍AD,求证异面直线AD和BC互相垂直.
希望得到详细解答.谢谢.

答案

设AC的中点为G,连结EG、FG.则EG、FG分别是ΔABC和ΔACD的中位线,就有：
EG‖BC,EG＝BC/2=AD/2,GF‖AD,GF＝AD/2.由题设,EF＝√2AD/2,
在ΔEFG中,满足EG＾2+GF＾2＝DF＾2,知ΔEFG为RtΔ,且∠EGF=90度,
即EG⊥GF,从而AD⊥BC,证毕.