设A是n阶实对称方阵,秩（A）=r且A^2=A,计算n阶行列式︳2E-A︳

题目

设A是n阶实对称方阵,秩（A）=r且A^2=A,计算n阶行列式︳2E-A︳

答案

因为 A^2=A
所以A的特征值只能是0和1
由于r(A)=r
所以 A的特征值为1,...,1(r个),0,...,0(n-r个) --这里用到A可对角化
所以 2E-A 的特征值为 1,...,1(r个),2,...,2(n-r个)
所以 |2E-A| = 2^(n-r).