如图,线段AB在平面a内,线段AC垂直a,线段BD垂直AB,且AB=7,AC=BD=24,CD=25,求线段BD与平面a所成的角?

题目

如图,线段AB在平面a内,线段AC垂直a,线段BD垂直AB,且AB=7,AC=BD=24,CD=25,求线段BD与平面a所成的角?

答案

过D作DE⊥平面α交平面α于E,令AC的中点为F.
∵AB⊥BD、AB＝7、BD＝24,∴AD＝√（AB^2＋BD^2）＝√（49＋576）＝√625＝25,
又CD＝25,∴AD＝CD,而AF＝CF＝AC/2＝12,∴FD⊥AC.
∵AC⊥平面α,DE⊥平面α,∴FA∥DE.
∵AC⊥平面α,∴AE⊥AC,结合证得的FD⊥AC,得：FD∥AE.
由FA∥DE、FD∥AE,得：AEDF是平行四边形,∴DE＝AF＝12.
∴sin∠DBE＝DE/BD＝12/24＝1/2,∴∠DBE＝30°.
∴BD与平面α所在的角为30°.