椭圆X2/4+Y2/3上点A 〔1,3/2〕,另外两个动点E、F,AE、AF的斜率互为相反数,求证：EF的斜率为1/2

题目

椭圆X2/4+Y2/3上点A 〔1,3/2〕,另外两个动点E、F,AE、AF的斜率互为相反数,求证：EF的斜率为1/2

答案

设AE斜率为k
则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①
x²/4+y²/3=1 ②
①,②联立得出两个解一个是A（1,3/2）另一个是E（x1,y1）
①代入②消去y得（1/4+k²/3）x²-（2k²/3-k）x+k²/3-k-1/4=0
根据韦达定理 x1·1=（k²/3-k-1/4）/（1/4+k²/3）③
将③的结果代入①式得
y1=（-k²/2-k/2+3/8）/(1/4+k²/3)
设AF斜率为-k,F（x2,y2）
则AF方程为y-（3/2）=-k（x-1）④
x²/4+y²/3=1 ②
②④联立同样解得
x2=（k²/3+k-1/4）/（1/4+k²/3）
y2=（-k²/2+k/2+3/8）/（1/4+k²/3）
EF斜率为
（y2-y1）/(x2-x1)=1/2
所以直线EF斜率为定值,这个定值是1/2.