对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立，记实数M的最大值是m． （1）求m的值； （2）解不等式|x-1|+|x-2|≤m．

题目

对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立，记实数M的最大值是m．
（1）求m的值；
（2）解不等式|x-1|+|x-2|≤m．

答案

（1）不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立，
即M≤

|a+b|+|a−b|

|a|

对于任意的实数a（a≠0）和b恒成立，
故只要左边恒小于或等于右边的最小值．…（2分）
因为|a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|=2|a|，
当且仅当（a-b）（a+b）≥0时等号成立，
即|a|≥|b|时，

|a+b|+|a−b|

|a|

≥2 成立，
也就是

|a+b|+|a−b|

|a|

的最小值是2，
故M的最大值为2，即 m=2．…（5分）
（2）不等式|x-1|+|x-2|≤m即|x-1|+|x-2|≤2．
由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
而数轴上

1

2

和

5

2

对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，
故|x-1|+|x-2|≤2的解集为：{x|

1

2

≤x≤

5

2

}．（10分）