对于任意的实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立,记实数M的最大值是m. (1)求m的值; (2)解不等式|x-1|+|x-2|≤m.
题目
对于任意的实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立,记实数M的最大值是m.
(1)求m的值;
(2)解不等式|x-1|+|x-2|≤m.
答案
(1)不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立,
即
M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立,
故只要左边恒小于或等于右边的最小值.…(2分)
因为|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,
当且仅当(a-b)(a+b)≥0时等号成立,
即|a|≥|b|时,
≥2 成立,
也就是
的最小值是2,
故M的最大值为2,即 m=2.…(5分)
(2)不等式|x-1|+|x-2|≤m即|x-1|+|x-2|≤2.
由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,
而数轴上
和
对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2,
故|x-1|+|x-2|≤2的解集为:{x|
≤x≤}.(10分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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