已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值为

题目

已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值为

答案

线段 CD 的一端 D 在平面 BDC1 上,由三棱锥 C-C1BD 的体积反求出 C 到平面 C1BD 的距离 d,即可求得直线与平面夹角 α 的正弦；
V-CC1BD=(S-△BCD)*CC1=(S-△BDC1)*d；
S-△BCD=(AB)²/2,CC1=AA1=2AB,
S-△BDC1=(1/2)*BD*√[(CC1)²+(AC/2)²]=(√2/2)*AB*√[4(AB)²+(AB)²/2]=(3/2)(AB)²；
（也可由三边长 BD=√2*AB、C1B=C1D=√5*AB 来求△BDC1 的面积）
∴ d＝(S-△BCD)*CC1 /(S-△BDC1)＝(1/2)*2*(AB)/(3/2)＝2*(AB)/3；
∵ CD=AB,∴ sinα=d/(CD)=d/(AB)=2/3；