如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B; (1)求证:CD⊥AB,并指出你在证明过程中应用了哪两个互逆的真命题; (2)如图2,若AE平分∠BAC,交CD于点F,
题目
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B;
(1)求证:CD⊥AB,并指出你在证明过程中应用了哪两个互逆的真命题;
(2)如图2,若AE平分∠BAC,交CD于点F,交BC于E.求证:∠AEC=∠CFE;
(3)如图3,若E为BC上一点,AE交CD于点F,BC=3CE,AB=4AD,△ABC、△CEF、△ADF的面积分别为S
△ABC、S
△CEF、S
△ADF,且S
△ABC=36,则S
△CEF-S
△ADF=______.(仅填结果)
答案
(1)证明:∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵∠ACD=∠B,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠ADC=90°,
即CD⊥AB,
证明时应用了“直角三角形两锐角互余”和“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”;
(2)证明:∵AE平分∠BAC,
∴∠CAE=∠BAE,
∵∠CAE+∠AEC=90°,∠BAE+∠AFD=90°,
∴∠AEC=∠AFD,
∵∠AFD=∠CFE(对顶角相等),
∴∠AEC=∠CFE;
(3)∵BC=3CE,AB=4AD,
∴S
△ACD=
S
△ABC=
×36=9,S
△ACE=
S
△ABC=
×36=12,
∴S
△CEF-S
△ADF=S
△ACE-S
△ACD=12-9
=3.
故答案为:3.
举一反三
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