如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，AD和CE是△ABC的高，且AD和CE相交于点H，求证：AH=2BD．

题目

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，AD和CE是△ABC的高，且AD和CE相交于点H，求证：AH=2BD．

答案

证明：在△ABC中，
∵∠BAC=45°，CE⊥AB，
∴AE=CE，∠EAH=∠ECB，
在△AEH和△CEB中，

∠EAH=∠ECB AE=CE ∠AEC=∠BEC=90°

，
∴△AEH≌△CEB（ASA），
∴AH=BC，
∵BC=BD+CD，且BD=CD，
∴BC=2BD，
∴AH=2BD．

由在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，可得AE=CE，∠EAH=∠ECB，继而证得△AEH≌△CEB，然后由全等三角形的性质，证得结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．