实数x,y满足1+cos2(2x+3y−1)=x2+y2+2(x+1)(1−y)x−y+1,则xy的最小值是_.
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实数x,y满足1+cos2(2x+3y−1)=x2+y2+2(x+1)(1−y)x−y+1,则xy的最小值是_.
题目
实数x,y满足1+
co
s
答案
∵1+
co
s
2
(2x+3y−1)=
x
2
+
y
2
+2(x+1)(1−y)
x−y+1
,
∴1+
co
s
2
(2x+3y−1)=
x
2
+
y
2
+2x+2−2xy−2y
x−y+1
∴1+
co
s
2
(2x+3y−1)=
(x−y)
2
+2(x−y)+2
x−y+1
∴1+
co
s
2
(2x+3y−1)=
(x−y+1)
2
+1
x−y+1
∴1+
co
s
2
(2x+3y−1)=(x−y+1)+
1
x−y+1
∵
(x−y+1)+
1
x−y+1
≥2
,或
(x−y+1)+
1
x−y+1
≤−2
1≤1+cos
2
(2x+3y-1)≤2
故1+
co
s
2
(2x+3y−1)=(x−y+1)+
1
x−y+1
=2
此时x-y+1=1,即x=y
2x+3y-1=kπ,即5x-1=kπ,x=
kπ+1
5
(k∈Z)
xy=x
2
=
(kπ+1
)
2
25
(k∈Z)
当k=0时,xy取得最小值
1
25
故答案为:
1
25
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