过圆(x-1)²+(y-1)²=1外一点P(2,3),向圆引两条切线为A,B,求经过两切点的直线L的方程

题目

过圆(x-1)²+(y-1)²=1外一点P(2,3),向圆引两条切线为A,B,求经过两切点的直线L的方程

答案

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
因为 A、B 在圆上,所以过 A、B 的圆的切线方程分别为
(x1-1)(x-1)+(y1-1)(y-1)=1 、(x2-1)(x-1)(y2-1)(y-1)=1 ,
由于这两条切线都过点 P ,
因此代入可得 (x1-1)*(2-1)+(y1-1)*(3-1)=1 、(x2-1)*(2-1)+(y2-1)*(3-1)=1 ,
也就是 (x1-1)+2(y1-1)=1 、(x2-1)+2(y2-1)=1 ,
这说明,A 、B 的坐标都满足方程 (x-1)+2(y-1)=1 ,
上式表示直线,且过 A、B ,
所以直线 AB 的方程为 (x-1)+2(y-1)=1 ,化简得 x+2y-4=0 .