已知函数f(x)的值域[0,4](x∈[-2,2]),函数g(x)=ax-1,x∈[-2,2],∀x1∈[-2,2],总∃x0∈[-2,2],使得g(x0)=f(x1)成立,则实数a的取值范围是_.

已知函数f(x)的值域[0,4](x∈[-2,2]),函数g(x)=ax-1,x∈[-2,2],∀x1∈[-2,2],总∃x0∈[-2,2],使得g(x0)=f(x1)成立,则实数a的取值范围是_.

题目
已知函数f(x)的值域[0,4](x∈[-2,2]),函数g(x)=ax-1,x∈[-2,2],∀x1∈[-2,2],总∃x0∈[-2,2],使得g(x0)=f(x1)成立,则实数a的取值范围是______.
答案
根据题意,分情况讨论可得:
①a>0时,
−2a−1≤0
2a−1≥4
,得a≥
5
2

②a<0时,
−2a−1≥4
2a−1≤0
,得a≤-
5
2

③a=0时,g(x)=ax-1=-1,∴a∈∅
则实数a的取值范围是[-∞,-
5
2
]∪[
5
2
,+∞].
故答案为[-∞,-
5
2
]∪[
5
2
,+∞].
由题意知,g(x)的值域包含f(x)的值域,g(x)的值域与a的正负有关,分a>0,a<0两类求解,两类中分别得出端点值的大小关系,求两个不等式组,得到关于a的两个范围,求并集可得a的取值范围.

函数恒成立问题.

本题考查函数的值域,集合间的关系,解不等式组等知识点;把集合间的关系转化为不等式组求参数范围,可借助数轴;求值域时用分类讨论的思想.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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