超难

题目

超难
在一个小时内,一个病毒会死掉的几率是p,如果不死这个病毒会一分为二.问：一个病毒繁殖出一群病毒,并且这群病毒永远都不会全部灭绝的几率是多少?
提示：可以用Pn来表示第n代病毒会死的机率,然后找极限
我现在做到的步骤是：
P1=1-P
P¬2=(1-P1)*P
P3=(1-P2)*P
…
PN=(1-PN-1)*P
但是我不知道怎么用极限找到最后的概率
这个推荐答案不对

答案

第i代 存活概率 灭绝概率
1 1-p p
2 1- p(1-p) p(1-p)
3 1-p(1-p(1-p) p(1-p(1-p)
第i代 1-…… p(1-p(1-p(……))) i个p
化简一下=p-p²+p³-……±p^i
=(p+p³+p^5+……+p^i) -(p²+p^4+……+p^(i-1))
两部分分别进行无穷等比级数求和
第一部分首项a1=p 等比q=p²
第二部分首项a1=p² 等比q=p²
依照无限等比级数求和公式sn=a1/(1-q)两部分分别求和
=p/(1-p²)-p²/(1-p²)
于是原式=(p-p²)/(1-p²)=p(1-p)/(1+p)(1-p)=p/(1+p)
即当i趋于无穷大时,病毒灭绝的概率趋于p/(1+p)
于是病毒第i代继续存活的概率为
1-p/(1+p)
=(1+p)/(1+p)-p/(1+p)
=(1+p-p)/(1+p)
=1/(1+p)