已知球的半径为2,要在球内作一内接圆柱,问这个圆柱的底面半径为何值时,它的侧面积最大?

题目

已知球的半径为2,要在球内作一内接圆柱,问这个圆柱的底面半径为何值时,它的侧面积最大?

答案

设底面半径为r,圆柱的高为h
则有h/2=√(2^2-r^2) h=2√(4-r^2) 底面周长C=2 πr
侧面积s=hc=4 πr√(4-r^2)=4 π√(4r^2-r^4)
令y=4r^2-r^4 则y`=8r-4r^3 y`=0 则r=0,1或者-1
分析,r<-1,y`>0 函数单调增
-1 00 函数单调增
1所以,函数在r=-1和r=1时有极大值,即s有极大值
因为r>0,所以舍去r=-1
所以r=1
s=4π√3