任取一个正整数,他的立方最后两位数都是1的概率?

题目

任取一个正整数,他的立方最后两位数都是1的概率?

答案

设正整数百位及以上的形式为A,十位个位形式为B,则这个正整数的值=100A + B
其立方
= (100A + B) ³
= 1000000A³ + 3*10000A²*B + 3*100A*B² + B³
= 100(10000A³ + 300A²B + 300AB² ) + B³
显然上式前半部分完全不影响立方的最后两位数.即求正整数B（B< 100）使得B³最后两位为11.
显然B的个位只能为1,令B = 10X + 1
(10X + 1)³ = 1000X³ + 300X + 30X + 1 = 100(10X³ + 3X) + 10*3X + 1
则可知3X 的末位是1,解得X = 7.B = 71.
因此每100个连续正整数中有且仅有1个正整数（末位为71的）,可使他的立方最后两位数都是1.
这个概率 = 1/100 = 1%